Capítulo 4 Variables aleatorias

Recordemos brevemente algunos conceptos de variables aleatorias.

De forma intuitiva, una variable aleatoria es un resultado númerico obtenido a partir un experimento aleatorio.

Formalmente, una variable aleatoria es una función que asigna un número real a un elemento del espacio muestral

\[X:\Omega \to \mathbb{R}\] Asigna un número real \(X(\omega)\) a cada elemento \(\omega\) en el espacio muestral.

Ejemplo: Lanzamiento de moneda

Lanzamos una moneda dos veces, definimos \(X\) como en el número de sellos, entonces, la función de probabilidad se resume en la siguiente tabla.

\(\omega\) \(X(\omega)\) \(P(\{\omega\})\)
CC 0 1/4
CS 1 1/4
SC 1 1/4
SS 2 1/4

Tipos de variables aleatorias

Variables aleatorias discretas

Son aquellas que pueden tomar un número finito (o infinito numerable) de valores.

Ejemplos:

  • Número de fallas por cada metro de un tejido.
  • Número de artículos defectuosos producidos.

Variables aleatorias continuas

Son aquella que puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo.

Ejemplos:

  • Cantidad de combustible consumido por día.
  • Peso de un producto.
  • La altura de una persona.

4.1 Variables Aleatorias Discretas

En esta sección veremos caracteristicas de las variables aleatorias discretas.

4.1.1 Función de distribución de probabilidad f(X)

Esta función asigna un valor de probabilidad a cada valor de la variable aleatoria X:

\[f(x) = P(X=x)\]

\(f(x)\) es la probabilidad de que la variable aleatoria X sea igual a x. Por ejemplo, f(5) será la probabilidad de que X tome el valor de 5.

Por los axiomas de probabilidad, la suma de las probabilidades en todo el rango de X es 1:

\[\sum_{x \in R_x}f(x)=1\]

4.1.2 Función de probabilidad acumulada F(X)

Si \(X\) una variable aleatoria discreta, la función de distribución acumulada, de \(X\), esta definida de la siguiente manera:

\[F(x) = P(X \leq x) = \sum_{a \leq x} P(X = a)\] es decir, \(F(x)\) es la probabilidad que el valor de \(X\) sea menor o igual a \(x\).

Por definición esta función esta definida sobre todos los reales \[\begin{array}{cccc} F :& R & \rightarrow & [0,1] \\ & x & \rightarrow & P(X \leq x) \end{array}\]

  • Propiedades

    • \(F(x)\) es una función no decreciente con dominio en los reales
    • El limite superior es \[\lim_{x \rightarrow \infty} F(x) = 1\]
    • El limite inferior es \[\lim_{x \rightarrow -\infty} F(x) = 0\]

Ejemplo: Lanzamiento de moneda (continuación)

Para el ejemplo anterior sobre el lanzamiento de una moneda, recordemos que \(X\) es una v.a. definida como en el número de sellos al lanzar 2 monedas. La función de probabilidad f(x) es la siguiente:

\[ f(x) = P(X = x)= \left\{ \begin{array}{lr} 0 & x = 0\\ 2/4 & x = 1 \\ 1/4 & x = 2 \\ 0 & x > 2 \end{array} \right. \]

La función de probabilidad acumulada F(X) entonces será de la siguiente manera:

\[ F(x) = P(X \le x)= \left\{ \begin{array}{lr} 0 & x < 0\\ 2/4 & 0 \leq x < 1 \\ 3/4 & 1 \leq x < 2 \\ 1 & x \ge 2 \end{array} \right. \]

4.1.3 Función Cuantil \(Q(p)\)

Sea \(X\) una variable aleatoria con función de probabilidad \(F_X\). La función de distribución acumulada inversa o función de cuantiles se define para \(p \in [0,1]\)

\[Q(p)=F_X^{-1}(p)=inf\{x:p\le F(x)\}\]

Para una probabilidad p (\(0<p<1\)), la función cuantil devuelve el valor mínimo de \(x\) para el para el cual la probabilidad de que X es menor o igual a \(x\) es la probabilidad dada \(p\).

  • Q(p) ayuda a responderlo siguiente ¿Para que valor de X tengo una probabilidad acumulada de p?

Cuartiles y Mediana:

El primer cuartil \[Q(1/4)=F_X^{-1}(1/4)\]

La mediana: \[Q(1/2)\]

Tercer cuartil: \[Q(3/4)\]

4.1.4 Esperanza

Si X es una variable aleatoria con función de probabilidad \(f(x)\), el valor esperado de la variable X se define como: \[E(X)=\sum_{x\in R_x} x f(x) = \sum_{x\in R_x}xP(X=x)\]

Intuición: el promedio de todos los posibles valores de \(X\) ponderados por sus probabilidades.

Por ejemplo, si \(X\) toma únicamente dos posibles valores, \(a,b\) con probabilidad \(P(a)\) y \(P(b)\) entonces \[E(X)=aP(a)+bP(b)\]

Ejemplo:

Sea \(X\) es el valor de la cara obtenida cuando se lanza un dado. Entonces, la esperanza de X será de la siguiente forma:

\[ \begin{array}{cc} E(X)&=1 \cdot P(X=1) +2\cdot P(X=2) +3\cdot P(X=3) \\ & +4\cdot P(X=4) +5\cdot P(X=5) +6\cdot P(X=6) \\ E(X) &= 3.5 \end{array} \]

Si tiramos el dado muchas veces(realizamos el experimento muchas veces y observamo X) deberíamos esperar que el promedio de los resultados sea cercano a 3.5.

4.1.5 Media y varianza.

Sea X una variable aleatoria con función de probabilidad \(f(x)\); entonces, la media y la variancia de la variable aleatoria X se definen de la siguiente manera:

Media de X \[\mu_x=E(X)\]

  • Es el valor que esperaríamos observar al realizar el experimento.

Varianza de X: \[\sigma^2_x=Var(X)=E([x-\mu_x]^2)=E(X^2)-\mu_x^2\]

  • Interpretación: Es cuanto se espera que varien los valores del experimento con respecto a su valor esperado. Un valor grande (pequeño) significa que los resultados del experimento varian bastante (poco) con respecto a su valor esperado.

Relacionada a la varianza, tenemos a la desviación estandard La desviación estándar de \(X\), es la raíz cuadrada de la varianza de X: \[\sigma_x=\sqrt{Var(X)}\]

Intuitivamente, \(sd(X)\) es una medida de la dispersión de la distribución de \(X\) alrededor de su media. Debido a que la varianza es el valor central de la distribución de \((X-\mu)^2\), su raíz cuadrada da una idea del tamaño usual de la desviación absoluta \(|X-\mu|\).

Observar que \(\mu_x\), \(\sigma^2_x\) y \(\sigma_x\) están determinados por \(X\) y \(f(x)\) de tal manera que si dos variables aleatorias tienen la misma distribución de probabilidad, también tendrán la misma media, varianza y desviación estándar.

4.1.6 Propiedades

4.1.6.1 Esperanza

La esperanza cumple las siguientes propiedades:

  1. Esperanza de una función. Usualmente, \(E[g(X)]\ne g[E(X)]\); sin embargo se cumple lo siguiente:

\[E[g(X)] = \sum_{x \in R_X} g(x) P(X=x)\]

  1. Esperanza de una constante. La esperanza de una variable aleatoria constante es su valor constante, \[E(c) = c\]

  2. Esperanza de cX.

Para una constante c,

\[E(cX)=cE(X)\]

  1. Esperanza de la adición.

Para cualquier par de variables aleatorias \(X\), \(Y\),

\[E(X+Y) = E(X)+E(Y)\]

Para k variables aleatorias: \(X_i\)

\[E(\sum_{i=1}^{k}X_i) = \sum_{i=1}^{k}E(X_i)\]

  1. Esperanza de la Multiplicación.

Usualmente \(E(XY) \ne E(X)E(Y)\); sin embargo, si \(X\) y \(Y\) son independientes, entonces \[E(XY)=E(X)E(Y)\]

4.1.6.2 Varianza:

  1. Varianza de una constante.

\[Var(c)=0\]

  1. Varianza de cX.

Para una constante c,

\[Var(cX)=c^2Var(X)\]

  1. Varianza de la adición.

Para cualquier par de variables aleatorias \(X\), \(Y\). Si \(X\) e \(Y\) son independientes,

\[Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)\]

En general, para k variables aleatorias independientes: \(X_i\), \(i={0,1,2,... k}\)

\[Var(\sum_{i=1}^{k}X_i)=\sum_{i=1}^{k}Var(X_i)\]

Ejercicio

La distribución de una variable aleatoria \(X\) es tabulada a continuación.

Esta Tiene 5 posibles resultados. \(X\), i.e. 1, 2, 3, 5 ,10 y 20.

\(X\) \(f(x)=P(X=x)\)
1 0.1
2 0.3
5 0.25
10 0.2
20 0.15
  1. Calcular e interpretar la media de la variable aleatoria X: \(E(X)\)
  2. Calcular \(E(X^2)\).
  3. Calcular e interpretar la varianza de la variable \(X\).

4.2 Variables Aleatorias Continuas

En esta sección veremos caracteristicas de las variables aleatorias continuas.

Veremos las siguientes funciones asociadas a las variables alreatorias continuas:

  • Función de densidad de probabilidad– f(x)
  • Función de distribución acumulativa – F(x)
  • Función cuantil – Q(p)
  • Esperanza - E(x)

4.2.1 Función de densidad – f(x)

  • Sea \(X\) una variable aleatoria continua

  • La función de densidad es una función

    • No negativa: \(f(x) \geq 0 \ , \ \forall x\)

    • Debe cumplir

      \[P(a < X < b) = \int_a^b f(x)dx\] \[\int_{-\infty}^\infty f(x)dx = 1\]

Note que la función de densidad en un valor específico de x es cero: \(f(x)=P(X=x)=0\)

Ejemplo – f(x)

El tiempo que demora un empleado de la SUNAT en un proceso de fiscalización de una pequeña empresa (en horas), se distribuye uniformemente y tiene la siguiente función de densidad \(f(x)=k\); \(x\in[0,3]\)

  1. Determine k para la función de densidad de probabilidad del tiempo que demora un Empleado de la SUNAT en realizar el proceso de fiscalización de una pequeña empresa.

Sabemos que la fx debe cumplir lo siguiente \(\int_{-\infty}^\infty f(x)dx = 1\)

De aqui, vemos que k=1/3.

4.2.1.1 Función de distribución acumulada - F(X)

  • La función de distribución acumulada es \[F(x) = P(X \leq x) = \int_{-\infty}^x f(u)du\]

  • Propiedades

    • Si \(X\) es continua \[P(a < X < b) = P(a \leq X \leq b) = F(b) - F(a)\]

    • Si \(f\) es continua, entonces \[\frac{dF(x)}{dx} = f(x)\]

4.2.1.2 Valor esperado

  • Sea \(X\) una variable aleatoria continua

  • La esperanza de una variable aleatoria \(X\) esta definida por \[E[X] = \int x f(x) dx\]

  • Interpretación:

    • Es el valor que representa a los datos del experimento

4.2.1.3 Varianza

  • Sea \(X\) una variable aleatoria continua

  • La varianza de una variable aleatoria \(X\) esta definida por

    \[\begin{aligned} Var[X] &=& E[(X-E[X])^2] \nonumber \\ &=& \int (u - E[X])^2 f(u)du \nonumber \end{aligned}\]

  • Interpretación:

    • Es cuanto se espera que varien los valores del experimento con respecto a su valor esperado

    • Un valor grande (pequeño) significa que los resultados del experimento varian bastante (poco) con respecto a su valor esperado